Помощь с задачей по геометрии

Содержимое статьи:

• Куб ABCDA1B1C1D1
• P - середина A1D1
• M делит ребро AB в отношении 1:2 (от A)
• K делит ребро CC1 в отношении 2:1 (от C1)
  Требуется найти: В каком отношении плоскость РМК делит отрезок D1C1 (от С1)
  Решение: 1. Найдем координаты точек M и K M = (1/3, 0, 0) (точка деления в отношении 1:2)
  K = (-1/3, 0, 2/3) (точка деления в отношении 2:1)
  2. Найдем векторы РМ:

  PM = (-1/3, -1/2, 0)

  МК:

  МК = (-2/3, -1/3, 2/3)

  3. Найдем нормальный вектор плоскости РМК

  n = PM x МК = (1/9, 1/9, 1/9)

  4. Найдем координаты точек D1 и C1

  D1 = (0, 1, 1)
  
  C1 = (-1, 0, 1)

  5. Найдем вектор D1C1:

  D1C1 = (-1, 1, 0)

  6. Найдем координаты точки пересечения плоскости РМК и отрезка D1C1 Пусть точка пересечения имеет координаты (х, y, z). Тогда:

  n · (х - D1) = 0

  Подставив нормальный вектор, точку D1 и координаты точки пересечения, получим:

  1/9 (х - 0) + 1/9 (y - 1) + 1/9 (z - 1) = 0

  Упростив уравнение, получим:

  х + y + z = 2

  7. Найдем отношение Точка пересечения делит отрезок D1C1 в отношении:

  С1Т : ТD1 = (x + z - 1) : (y - 1)

  Подставив координаты точки пересечения и точки С1, получим:

  С1Т : ТD1 = (1 - 1) : (2 - 1) = 0 : 1

  Следовательно, плоскость РМК делит отрезок D1C1 в отношении 0:1 (от точки С1).