Дата публикации: 26.02.2025

Доказательство теоремы о пересечении медиан в треугольнике

Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство:

Проведем две медианы: Пусть AD и BE - медианы треугольника ABC, D - точка пересечения AD и BC, E - точка пересечения BE и AC.
Докажем, что треугольники ABD и BCE подобны:
- AD и BE - медианы, значит BD = DC и EC = AE.
- Углы ABC и ABD равны, так как BD - биссектриса угла ABC.
- Углы ACB и BCE равны, так как CE - биссектриса угла ACB.
  => △ABD ~ △BCE (по двум углам).
Следовательно, AB/BD = BC/CE: Из подобия треугольников.
Умножим обе части на BD: AB = (BD/CE) * BC.
Повторим шаги 2-4 для медиан AD и CE: Получим AB = (AD/EC) * AC.
Сравним два выражения для AB: (BD/CE) BC = (AD/EC) AC.
Упростим: BD/AD = CE/EC.
Умножим обе части на AD и AE: BD = CE.
Следовательно, точка D и точка E совпадают: Из равенства BD = CE.
Вывод: Это означает, что медианы AD и BE пересекаются в одной точке, где и пересекается третья медиана CF.