Дата публикации: 26.02.2025
Доказательство компактности отрезка
Доказательство теоремы Бореля-Лебега способом Лебега
Содержимое статьи:
Доказательство теоремы Бореля-Лебега, описанное в Википедии, подразумевает, что отрезок [a,x'] компактен. Однако возникает вопрос, откуда берётся эта компактность.
Ниже приведён способ устранения этой проблемы:
Доказательство компактности отрезка [a,x']
Во-первых, отрезок [a,a] очевидно компактен, поскольку он является единственным замкнутым и ограниченным подмножеством себя самого.
Далее, предположим, что отрезок [a,x] компактен для некоторого x. Тогда:
- отрезок
[a,x]замкнут, потому что он является пределом вложенных замкнутых отрезков[a,a],[a,x/2],[a,3x/4], ... - отрезок
[a,x]ограничен, потому что любая точка в нём имеет видy ≤ x, гдеyявляется точкой из[a,x].
Поэтому отрезок[a,x]удовлетворяет определению компактности.
Следовательно, по принципу математической индукции, отрезок[a,x']компактен.